Construcciones Geométricas

Las construcciones geométricas adquirieron gran importancia, tanto en Grecia como en India, en relación con rituales religiosos para la construcción de altares con forma y magnitud dadas. En Grecia, esto llevó al famoso problema de la duplicación del cubo, mientras que en India, lo importante en los altares era el área y no el volumen. En ambos casos, un paso esencial era resolver el siguiente problema: hallar un cuadrado que tenga la misma área que un rectángulo dado. Mientras los griegos lo resolvieron usando fundamentalmente la construcción del medio proporcional entre segmentos, los indios utilizaron el teorema de Pitágoras para resolverlo, en alrededor del año -600, cuando difícilmente podían haber sido influenciados por los griegos, lo que nos habla de algún origen común. 

Los problemas aparecen en los textos; así encontramos en textos griegos, por ejemplo, un diálogo donde los delianos consultan al oráculo para liberarse de una plaga. El Dios (Apolo) les contesta a través del oráculo que deben construir un altar que tenga el doble de tamaño que el actual, pero la misma forma. La resolución de problemas de este tipo utilizando sólo la regla y el compás (aunque los mismos griegos no vacilaron en construir y utilizar otros instrumentos) preocupó a los matemáticos durante siglos. Los llamados "problemas clásicos", como la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, la construcción del heptágono regular y la cuadratura del círculo, fueron satisfactoriamente resueltos (de hecho se probó la imposibilidad de realizar cualquiera de ellos) recién en los siglos XVIII y XIX.

Los cubos de Platón.

Lamina de dibujo Nº 03     Construcciones Geométricas "Triángulos/Cuadriláteros"

Estimado participante, para esta lamina ya tienes conocimiento de como utilizar adecuadamente los materiales e instrumentos de trabajo, ademas de haber realizado los ejercicios para construcción de lineas paralelas, perpendiculares y divisiones de ángulos.

Al fijar la lamina cuyo formato es DIN-A3 sobre la superficie de trabajo deberás dividir el area en 8 partes iguales.  Recuerda eluso adeacuado de lineas y de los rótulos al desarrollar e identificar los ejercicios.   Trabajaras en centímetros.

Ejercicio 1. Construir un triangulo equilátero, dado un lado AB 0,05m.

Ejercicio 2. Construir un triangulo isosceles, dados dos lados Y 0,065m  X 0,055m

Ejercicio 3. Construir un triangulo rectangulo, dado el lado AB 0,055m

Ejercicio 4. Construir un tiangulo equilatero, dada la altura h 0,06m

Ejercicio 5. Construir un cuadrado, dado el lado AB 52,5 mm

Ejercicio 6. Construir un cuadrado, dada la diagonal L 70 mm

Ejercicio 7. Construir un rectangulo, dada la base y el lado  R 65 mm  S 40 mm

Ejercicio 8. Construir un paralelogramo, dado los lados y un angulo  R 60mm S 40mm y el angulo MON 47º.


Lamina de dibujo Nº 04     Construcciones Geométricas "Polígonos" 

Una vez finalizada la Lamina anterior (Triangulos/Cuadrilateros), fija sobre la superficie de trabajo una lamina la cual deberas dividir en 06 seis partes iguales;  recuerda que en los marcos y procedimientos debes utilizar de forma correcta los materiales e instrumentos de trabajo, ademas de rotular adecuadamente tu trabajo.    Trabajaras en metros utilizando el escalimetro en la escala indicada.     

Ejercicio 1. Construir un pentágono, dado un lado AB 1,20 m. Esc: 1/20

Ejercicio 2. Construir un hexágono, dados un lado AB 2,5 m.  Esc: 1/50

Ejercicio 3. Construir un Heptágono, dado el lado AB 3 m. Esc: 1/100

Ejercicio 4. Dividir una circunferencia cuyo radio es de R= 50 m en nueve partes iguales, e inscribir el eneágono. Esc: 1/1250

Ejercicio 5. Dividir una circunferencia cuyo diámetro es de D=2 m en doce partes iguales, e inscribir e dodecágono. Esc: 1/25

Ejercicio 6. Dividir una circunferencia  cuyo diametro es D= 3 m en quince partes iguales, e inscribir un pentadecagono. Esc: 1/75                     

Polígono

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia limitada de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se interceptan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denominapoliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro.

Polígonos

El origen de la palabra poligono, deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’, aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados. 

Elementos de un Polígono.

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

• Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
• Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
• Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
• Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
• Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
• Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
• Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El interior es un abierto del plano.
• Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto del plano.
• Si el complemento (exterior) de una región poligonal es inconexo, este constará de varios fragmentos conexos llamados componentes. Uno y solo uno de los componente es ilimitado; todos los demás son limitados, a estos últimos se llaman huecos. Cada hueco con su frontera es un polígono.

Partes del Polígono

En un polígono regular se puede distinguir, además:

• Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
• Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
• Diagonales totales , en un polígono de  lados.
• Intersecciones de diagonales , en un polígono de  vértices.
• Todo polígono regular de n lados, puede ser descompuesto en un conjunto ordenado de n-2 triángulos, con un vértice común y la suma de las áreas de los triángulos sea igual al área del polígono.

Partes del Polígono

Clasificación de los polígonos según su contorno:

Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar las siguientes clasificaciones.

• Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
• Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
• Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.
• No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
• Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
• Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
• Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
• Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
• Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
• Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
• Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos  o .
• Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
• Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
• Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).

Clasificación de los polígonos según su numero de lados:

Los polígonos tienen un nombre especial para designar el número de lados del mismo. Los nombres más comunes son los siguientes:

Nombre	n.º lados
trígono o triángulo	3
tetrágono, cuadrángulo o cuadrilátero	4
pentágono	5
hexágono	6
heptágono	7
octógono u octágono	8
eneágono o nonágono	9
decágono	10
endecágono o undecágono	11
dodecágono	12
tridecágono	13
tetradecágono	14
pentadecágono o pentedecágono	15
hexadecágono	16
heptadecágono	17
octodecágono u octadecágono	18
eneadecágono o nonadecágono	19
isodecágono o icoságono	20
triacontágono	30
tetracontágono	40
pentacontágono	50
hexacontágono	60
heptacontágono	70
octocontágono u octacontágono	80
eneacontágono o nonacontágono	90
hectágono	100
chiliágono	1000
miriágono	10000
decemiriágono	100000
hectamiriágono o megágono	1000000
apeirógono	∞

Guías de Dibujo Técnico

El dibujo es la expresión o lenguaje gráfico según el cual se entienden el que proyecta una pieza o elemento y el que la realiza o construye. 

Las siguientes guías tienen como objetivo proporcionar al participante o alumno del Subproyecto de Dibujo, las bases y conocimientos necesarios para su comprensión y futura aplicación.  

Lineas Normalizadas 

Formato

Rotación 

Acotamiento

Guía de Conceptos Básicos (Modulo I)

Guía Lineas Perpendiculares y Paralelas

Guía Construcción de Cuadriláteros

Antecedentes del Dibujo Técnico (vídeo)

Historia del Dibujo Técnico

Desde sus orígenes, el hombre ha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.

Pinturas rupestres

Cuevas de Altamira Cantabria - España.

Pinturas rupestres

Cuevas de Altamira Cantabria - España.

Cuevas de Altamira - España, breve presentación.

A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujo artístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.

El Dibujo Técnico en la antigüedad

La primera manifestación del dibujo técnico, data del año 2450 antes de Cristo, en un dibujo de construcción que aparece esculpido en la estatua del rey sumerio Gudea, llamada  El arquitecto, y que se encuentra en el museo del Louvre de París. En dicha escultura, de forma esquemática, se representan los planos de un edificio.

Estatua Rey Sumerio Gudea, llamada el Arquitecto del plano. Año 2450 A.C.

Detalle de la estatua.

          

Del año 1650 a.C. data el papiro de Ahmes. Este escriba egipcio, redactó, en un papiro de de 33 por 548 cm., una exposición de contenido geométrico dividida en cinco partes que abarcan: la aritmética, la esteorotomía, la geometría y el cálculo de pirámides. En este papiro se llega a dar valor aproximado al numero pi.

Papiro de Rhind o papiro de Ahmes

En el año 600 a.C., encontramos a Tales, filósofo griego nacido en Mileto. Fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Tenía conocimientos en todas las ciencias, pero llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía, después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C.. Se dice de él que introdujo la geometría en Grecia, ciencia que aprendió en Egipto. Sus conocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geométricas. Tales no dejó escritos; el conocimiento que se tiene de él, procede de lo que se cuenta en la metafísica de Aristóteles.

Tales de Mileto 640-546 A.C.

Del mismo siglo que Tales, es Pitágoras, filósofo griego, cuyas doctrinas influyeron en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímedes. Fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. A dicha escuela se le atribuye el estudio y trazado de los tres primeros poliedros regulares: tetraedro, hexaedro y octaedro. Pero quizás su contribución más conocida en el campo de la geometría es el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

Teorema de Pitágoras

En el año 300 a.C., encontramos a Euclides, matemático griego. Su obra principal "Elementos de geometría", es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como: geometría plana, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudio en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría, y allí fundó una escuela de matemáticas.

Arquímedes (287-212 a.C.), notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. Inventó formas de medir el área de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados limitados por superficies curvas. Demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (p), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un circulo, y estableció que este número estaba en 3 10/70 y 3 10/71.

Apolonio de Perga, matemático griego, llamado el "Gran Geómetra", que vivió durante los últimos años del siglo III y principios del siglo II a.C. Nació en Perga, Panfilia (hoy Turquía). Su mayor aportación a la geometría fue el estudio de las curcas cónicas, que reflejó en su Tratado de las cónicas, que en un principio estaba compuesto por ocho libros.

Cónicas de Apolonio de Perga

El Dibujo Técnico en la era moderna

Es durante el Renacimiento, cuando las representaciones técnicas, adquieren una verdadera madurez, son el caso de los trabajos del arquitecto Brunelleschi, los dibujos de Leonardo de Vinci, y tantos otros. Pero no es, hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se produce un significativo avance en las representaciones técnicas.

Detalle de la Cúpula Catedral Santa Maria de las Flores. Florencia Italia. Filippo Brunelleschi. 1466

Panorámica de la Catedral.

Dibujos de Leonardo Da Vinci

Uno de los grandes avances, se debe al matemático francés Gaspard Monge (1746-1818). Nació en Beaune y estudió en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años. Es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite representar sobre una superficie bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos. Hoy en día existen diferentes sistemas de representación, que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799.

Gaspar Monge

Proyección Ortogonal 

Finalmente cave mencionar al francés Jean Victor Poncelet (1788-1867). A él se debe a introducción en la geometría del concepto de infinito, que ya había sido incluido en matemáticas. En la geometría de Poncellet, dos rectas, o se cortan o se cruzan, pero no pueden ser paralelas, ya que se cortarían en el infinito. El desarrollo de esta nueva geometría, que él denominó proyectiva, lo plasmó en su obra "Traité des propietés projectivas des figures" en 1822.

          La última gran aportación al dibujo técnico, que lo ha definido, tal y como hoy lo conocemos, ha sido la normalización. Podemos definirla como "el conjunto de reglas y preceptos aplicables al diseño y fabricación de ciertos productos". Si bien, ya las civilizaciones caldea y egipcia utilizaron este concepto para la fabricación de ladrillos y piedras, sometidos a unas dimensiones preestablecidas, es a finales del siglo XIX en plena Revolución Industrial, cuando se empezó a aplicar el concepto de norma, en la representación de planos y la fabricación de piezas. Pero fue durante la 1ª Guerra Mundial, ante la necesidad de abastecer a los ejércitos, y reparar los armamentos, cuando la normalización adquiere su impulso definitivo, con la creación en Alemania en 1917, del Comité Alemán de Normalización.

Revolución Industrial

Textos tomados de http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/historia/historiaintro.php

Definición de lo que es un Dibujo:

"Un dibujo es la representación gráfica sobre una superficie, generalmente plana, por medio de líneas o sombras, de objetos reales o imaginarios o de formas abstractas."

Metamorfosis.  Escher.

El dibujo de los objetos visibles consiste esencialmente en el registro de las impresiones recibidas a través de la vista. Sin embargo, dado que no es posible presentar en una sola imagen todos los aspectos visibles de un objeto, el arte del dibujo o Dibujo artístico se sustenta de la sugerencia, estimulando la imaginación del espectador para aportar lo que falta en la representación.

"La femme qui pleure, I" -1938- Picasso

El Dibujo técnico, es aquel que se utiliza para representar topografía, trabajos de ingeniería, edificios y piezas de maquinaria, que consiste en un dibujo sometido a una serie de normas, que unifican los criterios de la representación. Se trata de un dibujo cuyo propósito fundamental es transmitir la forma y dimensiones exactas de un objeto.

Pieza Mecánica.  Planos de detalles.

Hoy en día con las representaciones fotorrealistas en 3D, realizadas por el ordenador y software especiales, se obtienen dibujos que representan los objetos con dimensiones y formas exactas, pero que a su vez por las perspectivas adoptadas y los efectos de iluminación y ambientales, conllevan un alto grado de sugerencia para el espectador, mezclándose en la frontera, lo real y lo imaginario, lo técnico y lo artístico. 

 Brasilia Distrito Federal (Brasil)

Estadio Mane  Garrincha

Mundial de Futbol  2014