Construcciones Geométricas

Las construcciones geométricas adquirieron gran importancia, tanto en Grecia como en India, en relación con rituales religiosos para la construcción de altares con forma y magnitud dadas. En Grecia, esto llevó al famoso problema de la duplicación del cubo, mientras que en India, lo importante en los altares era el área y no el volumen. En ambos casos, un paso esencial era resolver el siguiente problema: hallar un cuadrado que tenga la misma área que un rectángulo dado. Mientras los griegos lo resolvieron usando fundamentalmente la construcción del medio proporcional entre segmentos, los indios utilizaron el teorema de Pitágoras para resolverlo, en alrededor del año -600, cuando difícilmente podían haber sido influenciados por los griegos, lo que nos habla de algún origen común. 

Los problemas aparecen en los textos; así encontramos en textos griegos, por ejemplo, un diálogo donde los delianos consultan al oráculo para liberarse de una plaga. El Dios (Apolo) les contesta a través del oráculo que deben construir un altar que tenga el doble de tamaño que el actual, pero la misma forma. La resolución de problemas de este tipo utilizando sólo la regla y el compás (aunque los mismos griegos no vacilaron en construir y utilizar otros instrumentos) preocupó a los matemáticos durante siglos. Los llamados "problemas clásicos", como la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, la construcción del heptágono regular y la cuadratura del círculo, fueron satisfactoriamente resueltos (de hecho se probó la imposibilidad de realizar cualquiera de ellos) recién en los siglos XVIII y XIX.

Los cubos de Platón.

Lamina de dibujo Nº 03     Construcciones Geométricas "Triángulos/Cuadriláteros"

Estimado participante, para esta lamina ya tienes conocimiento de como utilizar adecuadamente los materiales e instrumentos de trabajo, ademas de haber realizado los ejercicios para construcción de lineas paralelas, perpendiculares y divisiones de ángulos.

Al fijar la lamina cuyo formato es DIN-A3 sobre la superficie de trabajo deberás dividir el area en 8 partes iguales.  Recuerda eluso adeacuado de lineas y de los rótulos al desarrollar e identificar los ejercicios.   Trabajaras en centímetros.

Ejercicio 1. Construir un triangulo equilátero, dado un lado AB 0,05m.

Ejercicio 2. Construir un triangulo isosceles, dados dos lados Y 0,065m  X 0,055m

Ejercicio 3. Construir un triangulo rectangulo, dado el lado AB 0,055m

Ejercicio 4. Construir un tiangulo equilatero, dada la altura h 0,06m

Ejercicio 5. Construir un cuadrado, dado el lado AB 52,5 mm

Ejercicio 6. Construir un cuadrado, dada la diagonal L 70 mm

Ejercicio 7. Construir un rectangulo, dada la base y el lado  R 65 mm  S 40 mm

Ejercicio 8. Construir un paralelogramo, dado los lados y un angulo  R 60mm S 40mm y el angulo MON 47º.


Lamina de dibujo Nº 04     Construcciones Geométricas "Polígonos" 

Una vez finalizada la Lamina anterior (Triangulos/Cuadrilateros), fija sobre la superficie de trabajo una lamina la cual deberas dividir en 06 seis partes iguales;  recuerda que en los marcos y procedimientos debes utilizar de forma correcta los materiales e instrumentos de trabajo, ademas de rotular adecuadamente tu trabajo.    Trabajaras en metros utilizando el escalimetro en la escala indicada.     

Ejercicio 1. Construir un pentágono, dado un lado AB 1,20 m. Esc: 1/20

Ejercicio 2. Construir un hexágono, dados un lado AB 2,5 m.  Esc: 1/50

Ejercicio 3. Construir un Heptágono, dado el lado AB 3 m. Esc: 1/100

Ejercicio 4. Dividir una circunferencia cuyo radio es de R= 50 m en nueve partes iguales, e inscribir el eneágono. Esc: 1/1250

Ejercicio 5. Dividir una circunferencia cuyo diámetro es de D=2 m en doce partes iguales, e inscribir e dodecágono. Esc: 1/25

Ejercicio 6. Dividir una circunferencia  cuyo diametro es D= 3 m en quince partes iguales, e inscribir un pentadecagono. Esc: 1/75                     

Polígono

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia limitada de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se interceptan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denominapoliedro, y de cuatro dimensiones se denomina polícoro.

Polígonos

El origen de la palabra poligono, deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’, aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados. 

Elementos de un Polígono.

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

• Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
• Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
• Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
• Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
• Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
• Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
• Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El interior es un abierto del plano.
• Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto del plano.
• Si el complemento (exterior) de una región poligonal es inconexo, este constará de varios fragmentos conexos llamados componentes. Uno y solo uno de los componente es ilimitado; todos los demás son limitados, a estos últimos se llaman huecos. Cada hueco con su frontera es un polígono.

Partes del Polígono

En un polígono regular se puede distinguir, además:

• Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
• Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
• Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
• Diagonales totales , en un polígono de  lados.
• Intersecciones de diagonales , en un polígono de  vértices.
• Todo polígono regular de n lados, puede ser descompuesto en un conjunto ordenado de n-2 triángulos, con un vértice común y la suma de las áreas de los triángulos sea igual al área del polígono.

Partes del Polígono

Clasificación de los polígonos según su contorno:

Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar las siguientes clasificaciones.

• Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
• Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
• Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.
• No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
• Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
• Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
• Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
• Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
• Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
• Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
• Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos  o .
• Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
• Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
• Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).

Clasificación de los polígonos según su numero de lados:

Los polígonos tienen un nombre especial para designar el número de lados del mismo. Los nombres más comunes son los siguientes:

Nombre	n.º lados
trígono o triángulo	3
tetrágono, cuadrángulo o cuadrilátero	4
pentágono	5
hexágono	6
heptágono	7
octógono u octágono	8
eneágono o nonágono	9
decágono	10
endecágono o undecágono	11
dodecágono	12
tridecágono	13
tetradecágono	14
pentadecágono o pentedecágono	15
hexadecágono	16
heptadecágono	17
octodecágono u octadecágono	18
eneadecágono o nonadecágono	19
isodecágono o icoságono	20
triacontágono	30
tetracontágono	40
pentacontágono	50
hexacontágono	60
heptacontágono	70
octocontágono u octacontágono	80
eneacontágono o nonacontágono	90
hectágono	100
chiliágono	1000
miriágono	10000
decemiriágono	100000
hectamiriágono o megágono	1000000
apeirógono	∞